La elipse

¿Qué es la elipse?

Una elipse es una figura geométrica formada por la ubicación de dos puntos, llamados focos, los cuales tienen una distancia constante y mantienen, tambien, una distancia congruente a los puntos vértices de de la misma. La elipse propia se presta para el estudio analìtico, identificando una serie de elementos que se ven el el plano:

Elementos: 

Los focos: son los puntos F1 y F2 de la elipse, los cuales se ubican a una distancia -c y c del centro (respectivamente) y están en la misma recta de los vértices del eje mayor.  

Los vértices: 

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

La ecuación de la recta

Primero que todo para poder definir la ecuación de la recta se debe definir lo que es una recta y sus funciones.
¿Qué es una recta?
La recta es una figura de infinitos puntos y segmentos, que se extiende en una misma dirección y no tiene ni principio ni fin. Es posible asignar dos puntos (x,y) en una recta para formar una linea recta.
Además, para ayudar a comprender y representar una linea recta se necesita saber lo que es:
°Lugar geométrico
°Distancia entre dos puntos
°Pendiente

Lugar Geométrico: es un conjunto de puntos dentro de un plano cartesiano que cumplen similitudes y que tienen características geométricas en común. Lo que se debe saber del lugar geométrico (para la ecuación de la recta) es que se puede identificar la ubicación de los puntos al establecer parámetros en las variables (x,y) y tomar puntos en el plano para crear una ubicación.

Distancia entre dos puntos: Luego de haber ubicado los puntos en el plano, se puede calcular la distancia entre dos de esos puntos; mediante la fórmula:
(Adviertase que P1 es igual a A en la fórmula inferior, y que P2 es igual a B; C es el punto de triangulación)  

Para hallar la distancia entre el punto A y el B, se crean dos segmentos con misma terminación en C; uno con dirección en x(AC) y el otro en y(BC), ambos paralelos al eje x y y respectivamente. Por lo tanto AC sería la  diferencia entre la distancia de C al origen y A al origen (X2-X1); y BC sería la diferncia entre la distancia de B al origen y de C al origen (Y2-Y1) . Como se ve en la gráfica los resultados son dos segmentos perpendiculares que servirán de catetos para hallar la hipotenusa (en este caso la distancia de AB); se aplica el teorema de pitágoras y se despeja el exponente de AB, para dejar la distancia entera.

Nota: Aquí se demuestra lo que es la geometría analítica, pues se aplica el álgebra para resolver problemas de la geometría.  

Pendiente: La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

 La pendiente es explicada de manera que se crea una recta l con ángulo @, formado respecto al eje X, igual al ángulo del triángulo ABC (anterior). Por lo tanto Tan@= Y2-Y1/X2-X1 es igual a la inclinación de @ mejor conocida como pendiente. En una recta la pendiente es siempre constante.

La ecuación de la recta:

Es un método en geometría analítica para resolver, o calcular, las características de una recta y la ubicación y representación de esta en los planos. La ecuación de la recta se puede hallar mediante diferentes fórmulas las cuales son:
°La fórmula y=mx+b: donde m es la pendiente y b el punto de corte en Y (o sea donde toca a Y). A esta fórmula se le llama ecuación canónica o explícita de la recta. Solo se necesita saber la pendiente y el y-intercepto.
°La fórmula Y-Y1 = m(X-X1): donde Y1 y X1 hacen parte de un punto P(X1,Y1) y escogiendo otro punto diferente a P, como por ejemplo Q(X,Y). Se sabe que la pendiente es m y que es igual a Y-Y1/X-X1; el resto es despejar. Solo se necesita saber la pendiente y un punto.
°La fórmula Y-Y1 = m(X-X1): la única diferencia de la ecuación anterior, es que se conocen los dos puntos para hallar la pendiente.

La ecuación general de la recta:
Es la forma simplificada de unir las ecuaciones anteriores. Su composición es Ax+By+C=0, y de ella se pueden despejar las otras ecuaciones.

Breve historia de geometría

Se dice que la geometría comenzó a ser analítica con la publicación de obra maestra en 1637 de René Descartes (1596-1650): Discurso del Método. En un apéndice del discurso, titulado La Géométrie, que incluye las aplicaciones del álgebra a la geometría, está incluido un impulso a la utilización de la geometría para resolver algunos problemas algebraicos..
Casi simultáneamente, Pierre de Fermat (1601-1665), un ciudadano contemporáneo, estaba haciendo la investigación en curvas especiales y sus soluciones geométricas. Algunos autores afirman que el descubrimiento de la base de un sistema de coordenadas para trazar las curvas y encontrar soluciones a la ecuación algebraica debe atribuirse a Fermat y no a Descartes, porque Fermat tenía una visión más geométrica que Descartes. Sin embargo, incluso antes de los dos, algunas formas rudimentarias de resolver problemas geométricos se atribuyen a ser utilizadas por Apolonio en Grecia casi dos mil años antes. La simultaneidad de los descubrimientos no son tan raros en la ciencia. Otro descubrimiento casual en matemáticas es la invención del cálculo moderno de Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), el primero en Inglaterra y Leibniz en Alemania.
Con el fin de desarrollar un sistema de coordenadas geométricas útiles para resolver problemas matemáticos relacionados con la geometría y la física dos importantes pasos son necesarios: el reconocimiento del cero como un número, y la introducción de los números negativos. Tenga en cuenta que la matemática se inventó para resolver los problemas de la vida real, y ninguno de los conceptos mencionados provienen de la realidad cotidiana. Un claro ejemplo de ello es la "matemáticas" romana en el que no tenía ningún símbolo ni número para el número cero, mucho menos para los números negativos. 
Con la aceptación de los números negativos la historia es similar: algunos matemáticos se opusieron a la existencia de números de "bajo cero". Otros consideran que la sustracción de cero era "sin sentido".
Puede sonar extraño, pero Descartes nunca utilizó "las coordenadas cartesianas" en su tratado de 1637 ni en su vida; él escribió sobre "coordenadas" en el sentido de las distancias para describir el lugar de una curva, y más aún, él no utilizó distancias negativas. En los trabajos de Descartes todo estaba medido en distancias positivas.
El primer uso de coordenadas negativas se atribuye a Isaac Newton (1642-1727) en una colección de figuras y gráficos de los polinomios de tercer grado de su libro Enumeratio linearum tertii ordinis, o Enumeración de las curvas de tercer grado. 
En esta publicación Newton utilizó ejes perpendiculares e incluía ambos números positivos y negativos. De hecho, en algunas de las figuras que utiliza la letra mayúscula X de la etiqueta del eje horizontal, la letra mayúscula Y para el eje vertical, e incluso la letra mayúscula O para que marcar el punto de intersección de ambos ejes. En algunos bocetos que no incluye ninguna de las etiquetas.
La sistematización del presente sistema de coordenadas usando ejes perpendiculares encontrados en un común "origen " es el resultado final de la actividad humana a través de más de dos milenios para dar un significado real a los problemas matemáticos que dan resultados cero o negativos.
Se ha de advertir que la geometría analítica en un principio fue nombrada de esta forma (por Descartes) para explicar el sistema de coordenadas y utilización del algebra para la reprensetación de puntos y figuras en los planos. Pero esta, hasta nuestros tiempos, no se puede reconocer como simplemente el estudio de los planos y el algebra, sino todos los aportes y aplicaciones que algebraicamente o no  se dan a los planos cartesianos.

¿Qué es la geometría analítica?

Se conoce como geometría analítica al estudio (de la rama de la Geomería) de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas; y para resolver incógnitas dentro de un sistema de coordenas se utilizan axiomas y definiciones fundamentales.